（2014•开封模拟）若椭圆x2a2+y2b2＝1的焦点在x轴上，过点（1，12）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）A.x29+y24＝1B.x24+y25＝1C.

Question

（2014•开封模拟）若椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1的焦点在x轴上，过点（1，(1)/(2) ）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（　　）
A. (x2)/(9)+(y2)/(4)＝1
B. (x2)/(4)+(y2)/(5)＝1
C. (x2)/(5)+(y2)/(4)＝1
D. (x2)/(9)+(y2)/(5)＝1

Answer 1

设过点（1，(1)/(2) ）的圆x²+y²=1的切线为l：y-(1)/(2)=k（x-1），即kx-y-k+(1)/(2)=0
①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x²+y²=1相切于点A（1，0）；
②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=(|−k+(1)/(2)|)/(√(k2+1))=1，解之得k=-(3)/(4)，
此时直线l的方程为y=-(3)/(4)x+(5)/(4)，l切圆x²+y²=1相切于点B（(3)/(5)，(4)/(5)）；
因此，直线AB斜率为k₁=(0−(4)/(5))/(1−(3)/(5))=-2，直线AB方程为y=-2（x-1）
∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．
椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，椭圆方程为(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1
故选C