（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-43x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的

Question

（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-(4)/(3)x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-(4)/(3)x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴

−(4)/(3)+b+c＝0

c＝4

，解得

b＝−(8)/(3)

c＝4

，
∴抛物线的解析式为y=-(4)/(3)x²-(8)/(3)x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，-(4)/(3)m²-(8)/(3)m+4），G（m，4），
∴PG=-(4)/(3)m²-(8)/(3)m+4-4=-(4)/(3)m²-(8)/(3)m；
点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，
令4=-(4)/(3)m²-(8)/(3)m+4，解得m=-2或0，
即m的取值范围：-2＜m＜0，
PG的长度为：-(4)/(3)m²-(8)/(3)m（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵y=-(4)/(3)x²-(8)/(3)x+4，
∴当y=0时，-(4)/(3)x²-(8)/(3)x+4=0，
解得x=1或-3，
∴D（-3，0）．
当点P在直线BC上方时，-2＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（-3，0）代入，得-3k+4=0，
解得k=(4)/(3)，
∴直线BD的解析式为y=(4)/(3)x+4，
∴H（m，(4)/(3)m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么(BG)/(DE)=(GP)/(EH)，
即(−m)/(m+3)=(−(4)/(3)m2−(8)/(3)m)/((4)/(3)m+4)，
解得m=0或-1，
由-2＜m＜0，故m=-1；
②如果△PGB∽△DEH，那么(PG)/(DE)=(BG)/(HE)，
即(−(4)/(3)m2−(8)/(3)m)/(m+3)=(−m)/((4)/(3)m+4)，
由-2＜m＜0，解得m=-(23)/(16)．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为-1或-(23)/(16)．