如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC=2．求证：AD2+CF2=BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
（1）若AC=1，BC=√(2)．求证：AD²+CF²=BE²；
（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a²+b²=c²的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

Answer 1

（1）证明：如图，连接FD，
∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，
∴CD=(1)/(2)BC=(√(2))/(2)，CE=(1)/(2)AC=(1)/(2)，
FD=(1)/(2)AC=(1)/(2)，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=1²+（(√(2))/(2)）²=(3)/(2)，
CF²=CD²+FD²=（(√(2))/(2)）²+（(1)/(2)）²=(3)/(4)，
BE²=BC²+CE²=（√(2)）²+（(1)/(2)）²=(9)/(4)，
∵(3)/(2)+(3)/(4)=(9)/(4)，
∴AD²+CF²=BE²；