在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB-3bsinA=csinC．（1）求角C的值；（2）若sinB=2cosA，a=23，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB-√(3)bsinA=csinC．
（1）求角C的值；
（2）若sinB=2cosA，a=2√(3)，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）利用正弦定理化简asinA+bsinB-√(3)bsinA=csinC，
得：a²+b²-√(3)ab=c²，
即a²+b²-c²=√(3)ab，
∴由余弦定理可得：cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(√(3)ab)/(2ab)=(√(3))/(2)，
∵C为三角形内角，
∴C=30°．
（2）由（1）可得C=30°．
∴根据已知有：sin（150°-A）=2cosA，由三角函数中的恒等变换应用化简可得：tanA=√(3)．A为三角形内角．
∴A=60°，B=180°-30°-60°=90°
∴由正弦定理可得：(2√(3))/(sin60°)=(c)/(sin30°)，解得：c=2．
∴S_△ABC=(1)/(2)ac=(1)/(2)×2×2√(3)=2√(3)．