△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（Ⅰ）求A（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Question

△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA ①
又A+B+C=π，故有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB ②
由 ①②得sinA=cosA即tanA=1，
又A∈(0，π)∴A=(π)/(4)；
（Ⅱ）△ABC的面积为S=(1)/(2)bcsinA=(√(2))/(4)bc，
又已知及余弦定理可得4=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA=(2-√(2))bc，
∴bc≤(4)/(2-√(2))，当且仅当b=c时，等号成立，
∴面积S=(1)/(2)•bcsinA≤√(2)+1，
即面积最大值为√(2)+1．