已知等腰三角形顶角为20°,腰长为a,底长为b,求证a三次方+b三次方=3a²b

Question

已知等腰三角形顶角为20°,腰长为a,底长为b,求证a三次方+b三次方=3a²b

Answer 1

证明:已知△ABC中∠A等于20°,AB=AC=a,BC=b
在AC上取一点D,使∠CBD等于60°
因为∠B等于80°,所以∠ABD等于20°,即AD=BD
设AD=BD=x,则
DC=AC-AD=a-x
在△DBC中,使用余弦定理得
cos60°=[x²+b²-(a-x)²]/2bx
x=(b²-a²)/(b-2a)
在△ABD中,使用余弦定理得
cos20°=[a^2+x^2-x^2]/2ax=a/2x
在△ABC中,使用余弦定理得
cos20°=[a²+a²-b²]/2a²=(2a²-b²)/2a²
因为cos20°=cos20°
所以a/2x=(2a²-b²)/2a²,x=a³/(2a²-b²)
因为x=x
所以a³/(2a²-b²)=(b²-a²)/(b-2a)
因为a³b-2a^4=2a²b²-2a^4-b^4+a²b²
所以a³b=3a²b²-b^4
即a³+b³=3a²b
说明:不求被你选为最佳,只求对你有所启发,再见!