设H是锐角三角形ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆做切线AP,AQ,切点分别为P和Q,求证：P,H,Q三点共线.

Question

设H是锐角三角形ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆做切线AP,AQ,切点分别为P和Q,求证：P,H,Q三点共线.

Answer 1

连接AH并延长,使其交BC于点D
连接PH,QH
取BC中点O,则O为圆以BC为直径的圆的圆心；
连接AC,交圆O于E,则必有∠BEC=90°,从而有BE⊥AC,∵H为△ABC的垂心,故BE必过H
连接OP,OQ,PD,QD
∵H为△ABC的垂心
∴AD⊥BC
∴∠ADO=90°
而AQ切圆O于Q
∴OQ⊥AQ,∠AQO=90°
∴∠ADO=∠AQO
∴O,A,D,Q四点共圆；
而AP切圆O于P
∴AP⊥OP,∠APO=90°
∴∠APO+∠ADO=180°
∴O,A,D,P四点共圆
故,O,A,D,P,Q五点共圆
有：∠APD+∠AQD=180° 成立（圆的内接四边形对角互补）
BE⊥AC,∠HEC=90°
AD⊥BC,∠HDC=90°
∠HEC+∠HDC=180°
∴H,D,Q,E四点共圆
易得出关系式：AH*AD=AE*AC(对这四个点组成的圆运用割线定理)
而在圆O中,运用切割线定理可得：
AP^=AQ^=AE*AC
AP^=AH*AD
AQ^=AH*AD
易证明△PAH∽△DAP,△QAH∽△DAQ
从而有：∠AHP=∠APD,∠AHQ=∠AQD
∴∠AHP+∠AHQ=180°
故,P,H,Q三点共线