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已知椭圆C：（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切。（1）求椭圆C的方程；（2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且，求证：直线l过定点，
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已知椭圆C： （a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3） 2 +（y-1） 2 =3相切。（1）求椭圆C的方程； （2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且  ，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。 |
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答案和解析
已知椭圆C： （a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3） 2 +（y-1） 2 =3相切。（1）求椭圆C的方程； （2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且  ，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。 |
（1）圆M的圆心为 ，半径 由题意知  得直线  的方程为 即  由直线AF与圆M相切得  ∴  故椭圆C的方程为  ；（2）由  知 从而直线AP与坐标轴不垂直 故可设直线  的方程为 ，直线 的方程为 将  代入椭圆C的方程，整理得 解得  或 故点P的坐标为  同理，点Q的坐标为  直线l的斜率为  直线l的方程为  即  ∴直线l过定点  。 |
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