如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan∠PCB的值．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．

（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴(CA)/(AB)＝(1)/(√(2))，
又∵△CPA∽△APB，
∴(CP)/(PA)＝(PA)/(PB)＝(CA)/(AB)＝(1)/(√(2))，
令CP=k，则PA＝√(2)k，PB＝2k，
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB＝(PB)/(PC)＝2．