如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．（1）求证：点E是AB的中点；（2）求证：四边形ACEF是平行四边形．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．

（1）求证：点E是AB的中点；
（2）求证：四边形ACEF是平行四边形．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点，DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点；
（2）证明：∵E为AB边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=CE，
∴CE=AE=AF，
∴∠ECA=∠EAC，∠AEF=∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EAC=∠AEF，∠FEC+∠ECA=180°，
∴∠ECA=∠F，
∴∠FEC+∠F=180°，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形．