如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与

Question

如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
（2） △AMC∽△DMP．
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠AMC=∠DMP，
∴△AMC∽△DMP．
（3）证明：分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE=BD，
∵S_△ACE=S_△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH=CG，
∴∠APC=∠BPC（角平分线的性质定理的逆定理）．