如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABD和△ACE，且AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，连接DC，BE，点G，F分别是DC，BE的中点，连接AF，FG．（1）求证：DC=BE；（2）当∠BAD=80°时，连接AG，求∠AFG

Question

如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABD和△ACE，且AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，连接DC，BE，点G，F分别是DC，BE的中点，连接AF，FG．

（1）求证：DC=BE；
（2）当∠BAD=80°时，连接AG，求∠AFG的度数；
（3）若∠BAD=α，请你直接写出∠AFG与α之间满足的数量关系．

Answer 1

（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，

AD=AB

∠DAC=∠BAE

AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE；

（2）如图，连接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，AD=AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=(1)/(2)DC，BF=(1)/(2)BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中，

AD=AB

∠ADC=∠ABE

DG=BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=80°，
∴∠GAF=80°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=(1)/(2)（180°-80°）=50°；

（3）∠AFG与α之间满足的数量关系为：∠AFG=90°-(1)/(2)α．
由（2）可得，当∠DAB=α时，∠GAF=α．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴α+2∠AFG=180°，
∴∠AFG=90°-(1)/(2)α．