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在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知a=csinB+bcosC.(1)求A+C的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
题目详情
在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知a=csinB+bcosC.
(1)求A+C的值;
(2)若b=
,求△ABC面积的最大值.
(1)求A+C的值;
(2)若b=
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)由正弦定理得到:sinA=sinCsinB+sinBcosC,
∵在△ABC中,sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),
∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,
∴cosBsinC=sinCsinB,
∵C∈(0,π),sinC≠0,
∴cosB=sinB,即tanB=1,
∵B∈(0,π),
∴B=
,即A+C=
;
(2)由余弦定理得到:b2=a2+c2-2accosB,即2=a2+c2-
ac,
∴2+
ac=a2+c2≥2ac,即ac≤
=2+
,
当且仅当a=c,即a=c=
时取“=”,
∵S△ABC=
acsinB=
ac,
∴△ABC面积的最大值为
.
∵在△ABC中,sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),
∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,
∴cosBsinC=sinCsinB,
∵C∈(0,π),sinC≠0,
∴cosB=sinB,即tanB=1,
∵B∈(0,π),
∴B=
π |
4 |
3π |
4 |
(2)由余弦定理得到:b2=a2+c2-2accosB,即2=a2+c2-
2 |
∴2+
2 |
2 | ||
2−
|
2 |
当且仅当a=c,即a=c=
2+
|
∵S△ABC=
1 |
2 |
| ||
4 |
∴△ABC面积的最大值为
1+
| ||
2 |
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