在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Question

在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b=√(2)，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=(π)/(4)，即A+C=(3π)/(4)；
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a²+c²-√(2)ac，
∴2+√(2)ac=a²+c²≥2ac，即ac≤(2)/(2−√(2))=2+√(2)，
当且仅当a=c，即a=c=√(2+√(2))时取“=”，
∵S_△ABC=(1)/(2)acsinB=(√(2))/(4)ac，
∴△ABC面积的最大值为(1+√(2))/(2)．