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已知函数f(x)=1/2*ax^2-lnx,若f(x)>=1恒成立,求a范围
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已知函数f(x)=1/2*ax^2-lnx,若f(x)>=1恒成立,求a范围
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答案和解析
f(x)的定义域为 x>0
f(x)的导数为 ax-1/x
当导数等于0时取得极值.此时有 ax=1/x x^2=1/a （由此a>0）
当x=√(1/a)时 导数为0
当x0,函数f(x)单调递增.
故f(x)在x=√(1/a)时取得极小值.而f(x)>=1
故f（√(1/a)）>=1.
f（√(1/a)）=1/2-1/2ln(1/a)=1/2+1/2 lna>=1
由此：
lna>=1
a>=e
f(x)的导数为 ax-1/x
当导数等于0时取得极值.此时有 ax=1/x x^2=1/a （由此a>0）
当x=√(1/a)时 导数为0
当x0,函数f(x)单调递增.
故f(x)在x=√(1/a)时取得极小值.而f(x)>=1
故f（√(1/a)）>=1.
f（√(1/a)）=1/2-1/2ln(1/a)=1/2+1/2 lna>=1
由此：
lna>=1
a>=e
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