已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）与x轴相切，若直线y=c与y=c+5分别交f（x）的图象于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为．

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）与x轴相切，若直线y=c与y=c+5分别交f（x）的图象于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为 ___ ．

Answer 1

∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，
∴△=a²-4b=0，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c交于A，B两点，
即A，B两点的横坐标为方程：x²+ax+b-c=0的两根，
故AB=|x₁-x₂|=√((x1+x2)2-4x1•x2)=√(a2-4b+4c)=2√(c)，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c+5交于C，D两点，
同时可得：CD=2√(c+5)，
此时四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，
S=25=(1)/(2)（AB+CD）×5=（√(c)+√(c+5)）×5，
即√(c)+√(c+5)=5，
解得：c=4，
故答案为：4