（1+x+x^2）(1-x)^10的展开式中,x^4项的系数为

Question

（1+x+x^2）(1-x)^10的展开式中,x^4项的系数为

Answer 1

解析：
(1-x)^10的二项展开式的通项为：
T(r+1)=C(10,r)*(-x)^r
而题目中所求的是（1+x+x²）(1-x)^10的展开式中含x^4 项的系数
那么(1-x)^10的二项展开式中所需考察的项共有3项,分别是：
T(5)=C(10,4)*x^4,T(4)=C(10,3)*(-x)^3,T(3)=C(10,2)*x²
易知将上述3项分别与1+x+x²的各项对应相乘,可以得到含x^4的项为：
1*C(10,4)*x^4+x*C(10,3)*(-x)^3+x²C(10,2)*x²
=[C(10,4)-C(10,3)+C(10,2)]*x^4
=135*x^4
所以（1+x+x^2）(1-x)^10的展开式中,x^4项的系数为135