已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn-2an=n-4．（1）证明{Sn-n+2}为等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．

Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足S_n-2a_n=n-4．
（1）证明{S_n-n+2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）证明：当n=1时，a₁=S₁，S₁-2a₁=1-4，
可得a₁=3，
S_n-2a_n=n-4转化为：S_n-2（S_n-S_n-1）=n-4（n≥2），
即S_n=2S_n-1-n+4，
所以S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]
注意到S₁-1+2=4，
所以{S_n-n+2}为首项为4，公比为2等比数列；
（2）由（1）知：Sn-n+2=2n+1，
所以Sn=2n+1+n-2，
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n
=(4(1-2n))/(1-2)+(n(n+1))/(2)-2n=(2n+3+n2-3n-8)/(2)．