已知数列{an}的前n项和Sn满足4an-3Sn=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列；（Ⅱ）设bn=12an-4n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=(1)/(2)a_n-4n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为4a_n-3S_n=2，①
所以当n=1时，4a₁-3S₁=2，解得a₁=2；               
当n≥2时，4a_n-1-3S_n-1=2，②…3 分
由①-②，得4a_n-4a_n-1-3（S_n-S_n-1）=0，
所以a_n=4a_n-1，
由a₁=2，得a_n≠0，
故{a_n}是首项为2，公比为4的等比数列．
（Ⅱ） 由（Ⅰ），得a_n=2×4^n-1．
所以b_n=(1)/(2)a_n-4n=4^n-1-4n，
则{b_n}的前n项和T_n=（4⁰+4¹+…+4^n-1）-4（1+2+3+…+n）=(1-4n)/(1-4)-4×(n(n+1))/(2)=(4n)/(3)-2n²-2n-(1)/(3)．