数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n．（1）设cn=an-1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），若a_n+S_n=n．
（1）设c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，∴a₁+S₁=1，得a₁=(1)/(2)．
又a_n+1+S_n+1=n+1，两式相减得2（a_n+1-1）=a_n-1，即(an+1−1)/(an−1)=(1)/(2)，
也即(cn+1)/(cn)=(1)/(2)，故数列{c_n}是等比数列．
（2）∵c₁=a₁-1=-(1)/(2)，
∴c_n=-(1)/(2n)，a_n=c_n+1=1-(1)/(2n)，a_n-1=1-(1)/(2n−1)．
故当n≥2时，b_n=a_n-a_n-1=(1)/(2n−1)-(1)/(2n)=(1)/(2n)．
又b₁=a₁=(1)/(2)，即b_n=(1)/(2n)（n∈N^*）．