已知数列an的前n项和为Sn．（Ⅰ）若数列an是等比数列，满足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中项，求数列an的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列ann∈N*，使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2（n+1）？若存

Question

已知数列a_n的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若数列a_n是等比数列，满足2a₁+a₃=3a₂，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列a_nn∈N^*，使对任意n∈N^*都有a_n•S_n=2n²（n+1）？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
以题意，有

2a1+a3＝3a2

a2+a4＝2(a3+2)

，即

a1(2+q2)＝3a1q          (1)

a1(q+q3)＝2a1q2+4  (2)

由（1）得：q²-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意；
当q=2时，代入（2）得a₁=2，所以an＝a1qn−1＝2•2n−1＝2n；
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{a_n}，设此数列的公差为d，
则[a1+(n−1)d][na1+(n(n−1)d)/(2)]＝2n2(n+1)，
得：(d2)/(2)n2+((3)/(2)a1d−d2)n+(a12−(3)/(2)a1d+(1)/(2)d2)＝2n2+2n对n∈N^*恒成立，
则

作业帮用户 2016-12-10

问题解析

（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知条件列方程组求出首项和公比，则等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{a_n}，设出公差后写出通项公式和前n项和公式，代入an•Sn＝2n2(n+1)，展开后由等式两边的系数相等列方程组求出首项和公差，即可说明存在等差数列{a_n}，使对任意n∈N^*都有an•Sn＝2n2(n+1)．

名师点评

本题考点：

等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考点点评：

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了比较系数法求参数的值，考查了学生的计算能力，属中低档题．

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