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已知数列an的前n项和为Sn.(Ⅰ)若数列an是等比数列,满足2a1+a3=3a2,a3+2是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列ann∈N*,使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2(n+1)?若存
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已知数列an的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若数列an是等比数列,满足2a1+a3=3a2,a3+2是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列ann∈N*,使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2(n+1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)若数列an是等比数列,满足2a1+a3=3a2,a3+2是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列ann∈N*,使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2(n+1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
以题意,有
,即
由(1)得:q2-3q+2=0,解得q=1或q=2.
当q=1时,不合题意;
当q=2时,代入(2)得a1=2,所以an=a1qn−1=2•2n−1=2n;
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,
则[a1+(n−1)d][na1+
]=2n2(n+1),
得:
n2+(
a1d−d2)n+(a12−
a1d+
d2)=2n2+2n对n∈N*恒成立,
则
以题意,有
|
|
由(1)得:q2-3q+2=0,解得q=1或q=2.
当q=1时,不合题意;
当q=2时,代入(2)得a1=2,所以an=a1qn−1=2•2n−1=2n;
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,
则[a1+(n−1)d][na1+
n(n−1)d |
2 |
得:
d2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
则
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