（2014•南岗区三模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+4ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A、C的坐标分别为（-8，0）、（0，4）．（1）求该抛物线的解析

Question

（2014•南岗区三模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax²+4ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A、C的坐标分别为（-8，0）、（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点C的直线y=3x+c与x轴交于点D，若动点P从B点出发沿线段BA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C点出发沿线段CA匀速运动，问是否存在某一时刻，使点P与点Q关于直线CD对称？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由？
（3）在（2）的结论下，作直线PQ，在直线PQ上方有一点M，连接PM、QM，线段PM与线段AC交于点N，若∠PMQ=90°且PN²=NQ×NA，请求出点M的坐标，并判断点M是否存在（1）中的抛物线上．

Answer 1

（1）依题意可得

4＝a×(−8)2+4a×(−8)+c

4＝a×02+4a×0+c

，
 解得

a＝−(1)/(8)

c＝4

，
所求抛物线的解析式为y=-(1)/(8)x²-(1)/(2)x+4；

（2）如图1，可求D（-(4)/(3)，0）
过点D作DL⊥AC，垂足为点L．连接PC、PQ．
∵∠DAL=∠CAO∠ALD=∠AOC=90°，
∴△ADL∽△ACO，
∴(DL)/(4)＝(AL)/(8)＝((20)/(3))/(4√(5))，
∴DL=(4)/(3)√(5)，
∴AL=

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（1）根据已知点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）过点D作DL⊥AC，垂足为点L．连接PC、PQ，首先根据△ADL∽△ACO求得CL=4

√(5)-(4)/(3)√(5)=(8√(5))/(3)=AL，然后根据△CPO∽△ACO求得CQ=PC=2√(5)，进而求得t=PB=OB-OP=4-2=2，从而算出点Q的运动速度为(2√(5))/(2)=√(5)；
（3）首先根据△NPQ∽△NAP，得到(QM)/(PM)＝(1)/(2)，然后过点M作直线l∥x轴，过点P、Q分别作PG⊥l、QH⊥l，垂足分别为点G、H．，进一步得到△QMH∽△MPG，从而求得点M的坐标为（-2，4），然后得到当x=-2时，y=-(1)/(8)×（-2）²-(1)/(2)×（-2）+4=(9)/(2)≠4，、判定点M不在（1）中的抛物线上．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的综合知识，题目中多次用到相似，甚至一个小题中用到两次相似，难度较大．

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