如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线角AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB=15°，AB=46，求线段AD的长度（2）求证：∠EFB=∠CDA．

Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线角AB于点E，连接EF．

（1）若∠DAB=15°，AB=4√(6)，求线段AD的长度
（2）求证：∠EFB=∠CDA．

Answer 1

（1）解∵△ABC为等腰直角三角形，AB=4√(6)，
∴∠CAB=45°，AC=(√(2))/(2)AB=4√(3)，
∵∠DAB=15°，∠CAD=∠CAB-∠DAB=30°，
∵cos∠CAD=(AC)/(AD)=(√(3))/(2)
∴AD=(2AC)/(√(3))=8；
（2）证明：过点B作BG垂直BC，交CE的延长线于G，如图所示：
∵∠CBG=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABG=∠ABC=45°．
在Rt△ABG中，∠G+∠BCG=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠BCG+∠CDA=90°
∴∠CDA=∠G，
在△ACD和△CBG中，

∠ADC=∠G

∠ACB=∠CBG=90°

AC=BC

，
∴△ACD≌△CBG（AAS），
∴CD=BG，
又CD=BF，
∴BG=BF，
在△BEF和△BEG中，

BF=BG

∠ABC=∠ABG

BE=BE

，
∴△BEF≌△BEG（SAS），
∴∠EFB=∠G，
又∠CDA=∠G，
∴∠EFB=∠CDA．