如图，AC是劣弧，M是AC的中点，B为AM上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD=DC．

Question

如图，

AC

是劣弧，M是

AC

的中点，B为

AM

上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD=DC．

Answer 1

证明：在CD上取点N，使CN=AB，连接CM，MN
∵M是

AC

的中点，
∴

AM

=

CM

，
∴AM=CM（等弧对等弦），
又∵∠BAM=∠BCM，
在△ABM和△CNM中，

CN＝AB

∠BAM＝∠BCM

AM＝CM

，
∴△ABM≌△CNM（SAS），
∴BM=MN，
∴△BMN为等腰三角形（BN为底），
又∵MD⊥BN，
∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），
∴BD=DN
∴AB+BD=CD．