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请阅读下列材料:已知:如图1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转9
题目详情
请阅读下列材料:
已知:如图1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.
已知:如图1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)猜想:DE2=BD2+EC2,
证明:根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2,
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
∴△AE′D≌△AED,
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2.
(2)结论:关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
证明:作∠FAD=∠BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,FD=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°,
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,
DF2+FE2=DE2,
即DE2=BD2+EC2.
证明:根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2,
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
∴△AE′D≌△AED,
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2.
(2)结论:关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
证明:作∠FAD=∠BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,FD=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°,
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,
DF2+FE2=DE2,
即DE2=BD2+EC2.
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