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已知,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=18cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发
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已知,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=18cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中.
①已知点P的速度为每秒10cm,点Q的速度为每秒6cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为x、y(单位:cm,xy≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求x与y满足的函数关系式.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中.
①已知点P的速度为每秒10cm,点Q的速度为每秒6cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为x、y(单位:cm,xy≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求x与y满足的函数关系式.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形;
设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(18-x)cm
在Rt△ABF中,62+(18-x)2=x2
解得x=10.
∴AF=10cm;
(2) ①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形.
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒10cm,点Q的速度为每秒6cm,运动时间为t秒,
∴PC=10t,QA=24-6t,
∴10t=24-6t,解得t=
.
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
秒.
②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,x=24-y,即y=24-x;
ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,24-y=x,即y=24-x;
iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,24-x=y,即y=24-x.
综上所述,x与y满足的函数关系式是y=24-x.
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,
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∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形;
设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(18-x)cm
在Rt△ABF中,62+(18-x)2=x2
解得x=10.
∴AF=10cm;
(2) ①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形.
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒10cm,点Q的速度为每秒6cm,运动时间为t秒,
∴PC=10t,QA=24-6t,
∴10t=24-6t,解得t=
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∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
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②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,x=24-y,即y=24-x;
ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,24-y=x,即y=24-x;
iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,24-x=y,即y=24-x.
综上所述,x与y满足的函数关系式是y=24-x.
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