近世代数,阿贝尔群以及交换环的证明\x02\x02(a)G1,G2是群,G=G1*G2(g1,g2)*\x03(h1,h2):=(g1\x03*h1,g2*\x03h2):求证：仅当G1和G2为阿贝尔群,G为阿贝尔群(b)R1,R2是环,R=R1*\x02R2:(a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1

Question

近世代数,阿贝尔群以及交换环的证明
\x02\x02
(a) G1,G2是群,G = G1 * G2
(g1,g2) *\x03 (h1,h2) := (g1 \x03* h1,g2 *\x03 h2):
求证：仅当G1和G2为阿贝尔群,G为阿贝尔群
(b) R1,R2 是环,R = R1*\x02R2 :
(a1,a2) + (b1,b2) := (a1 + b1,a2 + b2); (a1,a2) \x01 (b1,b2) := (a1 *\x01 b1,a2 *\x01 b2):
求证:仅当R1和R2为交换环,R为交换环

Answer 1

这第一题与第二题做法上都是异曲同工的.会做第一题第二题也会了.我这就说说第一题怎么做就好了.
首先你的乘法是外直积.
G1,G2为abel时,直接通过abel群的定义便证得G也是abel的.
当G为abel时,由G的结构可知G1'={(g,e)| g属于G1},G2‘={(e,g)|g属于G2}都为G的子群,abel群的子群是abel的,显然G1'与G1,G2'与G2是同构的,这就证明了G1,G2同构.