试证曲面ax+by+cz=f(x2+y2+z2)的法向量与{x0,y0,z0}和{a,b,c}共面,f为可导函数

Question

试证曲面ax+by+cz=f(x2+y2+z2)的法向量与{x0,y0,z0}和{a,b,c}共面,f为可导函数

Answer 1

首先求出曲面ax+by+cz=f(x2+y2+z2)在（x.,y.,z.）处的法向量；
不妨设g（x,y,z）=ax+by+cz-f(x2+y2+z2)
由数学分析的知识可以知道曲面在点（x.,y.,z.）的法向量其实与α=（g_x （x.,y.,z.）,g_y （x.,y.,z.）,g_z （x.,y.,z.））共线；
容易算出g_x （x.,y.,z.）=a-2x.*f ‘（x.,y.,z.） ；
同理g_y （x.,y.,z.）=b-2y.*f ’（x.,y.,z.） ；
g_z （x.,y.,z.）=c-2z.*f ’（x.,y.,z.） ；
α=（a-2x.*f ‘ ,b-2y.*f ’ ,c-2z.*f ’）；
要证明向量α 和向量（x.,y.,z.）和（a,b,c）共面,只需要证明它们构成的行列式等于0就可以了.其实你对行列式
|a b c |
|x.y.z.|
|a-2x.*f ‘ b-2y.*f ’ c-2z.*f ’ |
做两个简单的行变换就行了它的行列式确实是0了.