将f(x)=1/(x^2+3x+2)在x=-4展开为幂级数

Question

将f(x)=1/(x^2+3x+2)在x=-4展开为幂级数

Answer 1

利用Taylor公式f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+……
f(x)=1/(x^2+3x+2)=1/(x+1)+1/(x+2)
1/(x+1)=-[(1/3)+(X+4)/3^2+(X+4)^2/3^3+(X+4)^3/3^4+……+(X+4)^n/3^（n+1）+……]
1/(x+2)=-[(1/2)+(X+4)/2^2+(X+4)^2/2^3+(X+4)^3/2^4+……+(X+4)^n/2^（n+1）+……]
f(x)=-{(1/2+1/3）+(X+4)/[2^2+3^2]+ (X+4)^2/[2^3+3^3]+ (X+4)^3/[2^4+3^4]+………+
(X+4)^n/〔2^（n+1）＋3^（n+1）〕+………｝