如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（x+y2）≤f(x)+f(y)2，则称这个函数是下凸函数，下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=log2x（x＞0）；④f（x）=x，x＜02x，x

Question

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（(x+y)/(2)）≤(f(x)+f(y))/(2)，则称这个函数是下凸函数，下列函数：①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=log₂x（x＞0）； ④f（x）=

x，	x＜0
2x，	x≥0

中，是下凸函数的有 ___ ．

Answer 1

函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f（(x+y)/(2)）≤(f(x)+f(y))/(2)，可得f″（x）≥0，
（1）f（x）=2^x，则f′（x）=2^x•ln2，∴f″（x）=2^x•ln²2＞0，∴函数是下凸函数；
（2）f（x）=x³，则f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；
（3）f（x）=log₂x，则f′（x）=(1)/(xln2)，∴f″（x）=-(1)/(x2ln2)＜0，∴函数不是下凸函数；
（4）x＜0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数
故答案为．①④