如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．（Ⅰ）若AP=λa+μb，求λ和μ的值；（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，

Question

如图，在△ABC中，设

AB

=a ，

AC

=b ，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若

AP

=λa+μb ，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比 (S平行四边形ANPM)/(S△ABC) ．

Answer 1

（Ⅰ）∵在△ABC中，设

AB

=a ，

AC

=b ，
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．

AP

= (AR+AC)/(2) ，

AR

= (AQ+AB)/(2) ，

AQ

=(1)/(2)

AP

，消去

AR

，

AQ

∵

AP

=λa+μb ，
可得

AP

= (1)/(2) （ (AQ+AB)/(2) ）+ (1)/(2)

AC

= (1)/(4) × (1)/(2)

AP

+ (1)/(4)

AB

+ (1)/(2)

AC

，
可得

AP

= (2)/(7)

AB

+ (4)/(7)

AC

=λ

a

+μ

b

，
∴

λ=(2)/(7)

μ=(4)/(7)

；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，
∵得

AP

= (2)/(7)

AB

+ (4)/(7)

AC

，
∴ (S平行四边形ANPM)/(S平行四边形ABC) =(|AN|?|AM|?sin∠CAB)/((1)/(2)|AB|?|AC|?sin∠CAB) =2?(|AN|)/(|AB|) ?(|AM|)/(|AC|) =2×(2)/(7) ×(4)/(7) =(16)/(49) ；