p为奇素数,证明f(x)=x^p+px+1,在Q上不可约

Question

p为奇素数,证明f(x)=x^p+px+1,在Q上不可约

Answer 1

在Q上可约
那么关于方程x^p+px+1=0有有理根
而由高斯的代数基本定理可知,有理根一定是1的因数,所以只有1、-1为根.
将1代入方程：
1+p+1=0,而p为奇素数,不成立
将-1代入方程：
-1-p+1=0,而p为奇素数,同样不成立.
若p可以为偶素数,则：
1-p+1=0还是可以求到p=2的,恰好符合条件
事实上：x^2+2x+1=(x+1)^2