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已知函数f(x)=(x2+2x-2)•ex,x∈R,e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个不同的实数根,试求实数m的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=(x2+2x-2)•ex,x∈R,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个不同的实数根,试求实数m的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个不同的实数根,试求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=(x2+2x-2)•ex,x∈R,
∴f'(x)=(2x+2)•ex+(x2+2x-2)•ex=(x2+4x)•ex…(2分)
令f'(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下…(4分)
由表可得当x=-4时,函数f(x)有极大值f(-4)=6e-4;
当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2;…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)及当x→-∞,f(x)→0;x→+∞,f(x)→+∞
大致图象为如图(大致即可)
问题“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,…(10分)
故实数m的取值范围为[-2,0]∪{6e-4}.…(13分)
∴f'(x)=(2x+2)•ex+(x2+2x-2)•ex=(x2+4x)•ex…(2分)
令f'(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下…(4分)
x | (-∞,-4) | -4 | (-4,0) | 0 | (0,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大 | 递减 | 极小 | 递增 |
当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2;…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)及当x→-∞,f(x)→0;x→+∞,f(x)→+∞
大致图象为如图(大致即可)
问题“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,…(10分)
故实数m的取值范围为[-2,0]∪{6e-4}.…(13分)
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