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如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位

题目详情
如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.
解答下列问题:
作业帮
(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 ___ ;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是 ___ ;
(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;
(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;
(4)求OA的长.
[(2),(3),(4)中的结果保留π].
▼优质解答
答案和解析
作业帮 (1)∵⊙P的直径=4,
∴⊙P的半径=2,
∵⊙P与直线有一个交点,
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;
故答案为:2,相切;
(2)位置Ⅰ中
ON
的长与数轴上线段ON相等,
ON
的长为
90π•2
180
=π,NP=2,
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.
(3)点N所经过路径长为
90π•4
180
=2π,
S半圆=
180π•22
360
=2π,S扇形=
90π•42
360
=4π,
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.
(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接PA,则四边形PHCA为矩形.
在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC-HC=NC-PA=1,
于是sin∠NPH=
NH
PN
=
1
2

∴∠NPH=30°.
∴∠MPA=60°.
从而
MA
的长为
60π•2
180
=
3
,于是OA的长为π+4+
2
3
π=
5
3
π+4.
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