已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于A、B两点，若kAP与kBP均存在，试问：kAP与kBP的乘积是否为定值？若是，求出这个值．

Question

已知点P是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于A、B两点，若k_AP与k_BP均存在，试问：k_AP与k_BP的乘积是否为定值？若是，求出这个值．

Answer 1

设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），P（m，n）．
则(x20)/(a2)+(y20)/(b2)＝1，(m2)/(a2)+(n2)/(b2)＝1，
∴(n2−y20)/(b2)＝(x20−m2)/(a2)．
∴k_AP•k_BP=(n−y0)/(m−x0)•(n+y0)/(m+x0)=(n2−y20)/(m2−x20)=-(b2)/(a2)．
因此k_AP与k_BP的乘积为定值-(b2)/(a2)．