设f（x，y）=x|y|x2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，用方向导数的定义证明：函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．

Question

设f（x，y）=

(x|y|)/(√(x2+y2))，x2+y2≠0

0，x2+y2＝0

，用方向导数的定义证明：函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．

Answer 1

证明：由于

x＝ρcosθ

y＝ρsinθ

，而函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向

l

的方向导数为
(∂f)/(∂l)|(0，0)＝

lim

ρ→0+

(f(0+ρcosθ，0+ρsinθ)−f(0，0))/(ρ)
=

lim

ρ→0+

(ρ2cosθ•|sinθ|)/(ρ2)＝cosθ•|sinθ|
由于式中θ为任意的方向角，这说明函数在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．