设实数a,b,c满足a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求a^4+b^4+c^4的值

Question

设实数a,b,c满足a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求a^4+b^4+c^4的值

Answer 1

你可能是忙中出错了,a、b、c不可能全为实数.　现分析如下：
∵a＋b＋c＝1,∴（a＋b＋c）^2＝1,∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋bc＋ac）＝1,
又a^2＋b^2＋c^2＝2,∴2＋2（ab＋bc＋ac）＝1,∴ab＋bc＋ac＝－1/2.
∵a^3＋b^3＋c^3－3abc＝（a＋b＋c）（a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ac）,
将a^3＋b^3＋c^3＝3、a＋b＋c＝1、a^2＋b^2＋c^2＝2、ab＋bc＋ac＝－1/2 代入上式,得：
3－3abc＝2＋1/2,∴abc＝1/6.
∵ab＋bc＋ac＝－1/2,∴（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＋2abc（a＋b＋c）＝1/4,
将abc＝1/6、a＋b＋c＝1 代入上式,得：（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＋1/3＝1/4,
∴（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＝－1/12.
∵a^2＋b^2＋c^2＝2,∴a^4＋b^4＋c^4＋2［（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2］＝4,
将（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＝－1/12 代入上式,得：
a^4＋b^4＋c^4－1/6＝4,∴a^4＋b^4＋c^4＝25/6.
注：①由条件可推出（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＝－1/12,∴a、b、c不可能全为实数.
　　②若原题不是我所猜测的那样,则请你再补充说明.