已知函数f（x）=x-1-（e-1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）＜0的x的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=x-1-（e-1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（e^x）＜0的x的取值范围为______．

Answer 1

∵f（x）=x-1-（e-1）lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=1-(e−1)/(x)=(x−(e−1))/(x)，
由f′（x）＞0得x＞e-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜e-1，此时函数单调递减，
在x=e-1时，函数取得极小值，
∵f（1）=0，f（e）=0，
∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，
则f（e^x）＜0等价为1＜e^x＜e，
即0＜x＜1，
故答案为：（0，1）