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(2014•德州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边
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(2014•德州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)由A(4,0),可知OA=4,
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),B(-1,0).
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
则
,
解得:
,
则抛物线的解析式是:y=-x2+3x+4;
(2)存在.
第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
设P(m,-m2+3m+4),
则m=-m2+3m+4-4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴-m2+3m+4=6,
即P(2,6).
第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.
∴P2N∥x轴,
由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
设P2(n,-n2+3n+4),
则n=(-n2+3n+4)+4,
解得:n1=-2,n2=4(舍去),
∴-n2+3n+4=-6,
则P2的坐标是(-2,-6).
综上所述,P的坐标是(2,6)或(-2,-6);
(3)连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,
则AC=
=4
,
根据等腰三角形的性质,D是AC的中点.
又∵DF∥OC,
∴DF=
OC=2,
∴点P的纵坐标是2.
则-
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),B(-1,0).
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
则
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解得:
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则抛物线的解析式是:y=-x2+3x+4;
(2)存在.
第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
设P(m,-m2+3m+4),
则m=-m2+3m+4-4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴-m2+3m+4=6,
即P(2,6).
第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.
∴P2N∥x轴,
由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
设P2(n,-n2+3n+4),
则n=(-n2+3n+4)+4,
解得:n1=-2,n2=4(舍去),
∴-n2+3n+4=-6,
则P2的坐标是(-2,-6).
综上所述,P的坐标是(2,6)或(-2,-6);
(3)连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,
则AC=
OC2+OA2 |
2 |
根据等腰三角形的性质,D是AC的中点.
又∵DF∥OC,
∴DF=
1 |
2 |
∴点P的纵坐标是2.
则-
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