余弦定理证明先做单位圆,两角终边落于单位圆上A,B两点.①得OA（向量）=(cosα,sinα),OB（向量）=(cosβ,sinβ).②得OA(向量)*OB(向量)=cos(α-β)③OA(向量)*OB(向量)=cosα*cosβ+sinαsinβ求第三步原因,详细

Question

余弦定理证明
先做单位圆,两角终边落于单位圆上A,B两点.
①得OA（向量）=(cosα,sinα),OB（向量）=(cosβ,sinβ).
②得OA(向量)*OB(向量)=cos(α-β)
③OA(向量)*OB(向量)=cosα*cosβ+sinαsinβ
求第三步原因,详细点,谢谢~

Answer 1

AB的长度用余弦定理和两点间距离公式两种方法求得结果相等
余弦定理AB²=1²+1²-2×1×1cos(α-β)=2-2cos(α-β)
两点间距离公式AB²=(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²=2-2cosαcosβ-2sinαsinβ
所以2-2cos(α-β)=2-2cosαcosβ-2sinαsinβ
化简即得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
故有OA(向量)*OB(向量)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ