如图，在三棱锥A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．

Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=√(2)．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

（1）取AC的中点M，连接OM，ME，OE
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，EM＝(1)/(2)AB＝(√(2))/(2)，OE＝(1)/(2)DC＝1，
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
∴OM＝(1)/(2)AC＝1，
∴cos∠OEM＝(√(2))/(4)．
（2）设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE
∴(1)/(3)h•S△ACD＝(1)/(3)•AO•S△CDE，
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝√(2)，
∴S△ACD＝(1)/(2)×√(2)×√(22−((√(2))/(2))2)＝(√(7))/(2)，
而AO＝1，S△CDE＝(1)/(2)×(√(3))/(4)×22＝(√(3))/(2)
∴h＝(AO•S△CDE)/(S△ACD)＝(√(21))/(7)，
∴点E到平面的距离为(√(21))/(7)．