高二数学在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABO-A1B1O1中OO1=4OA=4OB=3角AOB=90°点D是线段A1B1的中点点P是侧棱BB1上的一点且OP垂直于BD求OP与底面AOB所成角的正切值

Question

高二数学
在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABO-A1B1O1中 OO1=4 OA=4 OB=3 角AOB=90° 点D是线段A1B1的中点 点P是侧棱BB1上的一点 且OP垂直于BD 求OP与底面AOB所成角的正切值

Answer 1

因为是直三棱柱,所以角POB就是OP与底面AOB所成角.
过P作BD的平行线交A1B1与E,过E作B1B的平行线交AB与F.
因为OP⊥BD,PE//BD,所以EPO是直角三角形,且角EPO是直角.
设B1E=x,则B1P=8/5x,PE^2=BE^2+BP^2;
PB=4-B1P;OP^2=BP^2+OB^2;
BF=B1E=x,EF=4；EO^2=EF^2+OF^2;
OF^2=OB^2+BF^2-2*OB*FB*cos(角OBF）,而三角形AOB是直角三角形,
cos(角OBF）＝3／5；
由EPO是直角三角形,且角EPO是直角.
PE^2+PO^2=EO^2
PE^2=(8/5x)^2+x^2
PO^2=(4-8/5x)^2+3^2;
EO^2=3^2+x^2-2*x*3*3/5+4^2
联立解得x=115/64
PB1=8/5x=23/8,PB=4-PB1=9/8;
OP与底面AOB所成角即角POB,tan(角POB)=PB/OB=3/8