设映射F：X→Y,若存在一个映射G：X→Y,使G.F=Ix,F.G＝Iy,其中Ix和Iy分别是X和Y上的恒等映射,即对于每一个x属于X,有Ix＝x；对于每一个y属于Y,有Iy＝y．证明：F是双射,且G是F的逆映射：G＝F－1（－1

Question

设映射F：X→Y,若存在一个映射G：X→Y,使G.F=Ix,F.G＝Iy,其中Ix和Iy分别是X和Y上的恒等映射,即对于每一个x属于X,有Ix＝x；对于每一个y属于Y,有Iy＝y．证明：F是双射,且G是F的逆映射：G＝F－1（－1是上标）
证明：由1知道，f,g均为一一映射！
怎么知道的 一一映射不是要既是单射又是满射吗？
PS：大师实在是太强大啦！请原谅我在您眼中可能近乎白痴的问题吧。

Answer 1

1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为恒等映射,现证明,f为单射,g为满射!
设x1,x2∈X,使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°f（x1）=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为单射!
对任意x,令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
即：对任意的x,存在y 使g(y)=x
g为满射!
2.
若g°f=idx,f°g=idy ,则f,g为一一映射,且f=g(-1),g=f(-1)
证明：由1知道,f,g均为一一映射!
现只需证明对任意的x∈X,y∈Y有
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)
∵f(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任何y∈Y成立.
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任何x∈X都成立.
∴f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)成立!