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如图所示,△ABC是正三角形,△A1B1C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3,A2、A3,B2、B3.已知A2C3=C2B3=B2A3,且C2C32+B2B32=A2A32.请你证明:AlB1⊥C1A1.
题目详情
如图所示,△ABC是正三角形,△A1B1 C1的三条边A1B1、BlC1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3,A2、A3,B2、B3.已知A2C3=C2B3=B2A3,且C2C32+B2B32=A2A32.请你证明:AlB1⊥C1A1.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,过A2作C3C2的平行线交过C2所作C3A2的平行线于点O,连接OA3、0B3,
∴A2OC2C3是平行四边形,
∴A2O∥C3C2,且A2O=C3C2,OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2,
∴△OB3C2是正三角形,
∴∠OB3C2=60°=∠B,
∴OB3∥A3B2,
又∵0B3=B3C2=A3B2,
∴OB3B2A3是平行四边形,
∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2,
∵C2C32+B2B32=A2A32,
∴OA22+OA32=A2A32,
在△A2OA3中,
∵OA22+OA32=A2A32,
∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°,
∵已证OA3∥B3B2,即OA3∥A1C1,A2O∥C3C2,即A2O∥B1A1,
∴∠C1A1B1=90°,
∴A1B1⊥C1A1.
∴A2OC2C3是平行四边形,
∴A2O∥C3C2,且A2O=C3C2,OC2∥A2C3且OC2=A2C3=B3C2,
∴△OB3C2是正三角形,
∴∠OB3C2=60°=∠B,
∴OB3∥A3B2,
又∵0B3=B3C2=A3B2,
∴OB3B2A3是平行四边形,
∴OA3∥B3B2且OA3=B3B2,
∵C2C32+B2B32=A2A32,
∴OA22+OA32=A2A32,
在△A2OA3中,
∵OA22+OA32=A2A32,
∴由勾股定理的逆定理得∠A2OA3=90°,
∵已证OA3∥B3B2,即OA3∥A1C1,A2O∥C3C2,即A2O∥B1A1,
∴∠C1A1B1=90°,
∴A1B1⊥C1A1.
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