如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．（2）若点C的坐标为（﹣1，0），试猜想过D

Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（﹣1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．

Answer 1

（1）连接AD，则∠ADO=∠B=60°， 在Rt△ADO中，∠ADO=60°， 所以OD=OA÷ =3÷ = ， 所以D点的坐标是（0， ）； （2）猜想：CD与圆相切， ∵∠AOD是直角， ∴AD是圆的直径，又∵tan∠CDO= = = ，∠CDO=30°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD， ∴CD切外接圆于点D； （3）依题意可设二次函数的解析式为：y=α（x﹣0）（x﹣3）， 由此得顶点坐标的横坐标为：x= = ； 即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF， 则得∠EFA= ∠B=30°， 即得到EF= EA= 可得一个顶点坐标为（ ， ）， 同理可得另一个顶点坐标为（ ， ）， 分别将两顶点代入y=α（x﹣0）（x﹣3） 可解得α的值分别为 ， ， 则得到二次函数的解析式是y= x（x﹣3）或y= x（x﹣3）．