已知曲线C1：y=ax2，（a＞0）上一点A（1，a）到原点的距离是26，过原点O作OM、ON交C1于M、N两点，直线MN交y轴于点Q（0，y0），（1）求曲线C1的方程；（2）当∠MON为锐角时，求y0的取值范围．

Question

已知曲线C₁：y=ax²，（a＞0）上一点A（1，a）到原点的距离是√(26)，过原点O作OM、ON交C₁于M、N两点，直线MN交y轴于点Q（0，y₀），
（1）求曲线C₁的方程；（2）当∠MON为锐角时，求y₀的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得 √(1+a2)=√(26)，∴a=5，故曲线C₁的方程为 y=5x²．
（2）设M （m，5m² ）、N （n，5n² ），则直线MN的方程为  (y−5n2)/(5m2−5n2)＝ (x−n)/(m−n)，
令 x=0，可得 y₀=-5mn．
由∠MON为锐角可得

OM

•

ON

=mn+25m²n²＞0，∴mn＜-(1)/(25)，或 mn＞0，
∴y₀＜0，或  y₀＞(1)/(5)，
故y₀的取值范围是(−∞，0)∪((1)/(5)，+∞)．