已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：

OM

•

OP

为定值．

Answer 1

（1）∵左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y₀），P（x₁，y₁），
则

OP

＝(x1，y1)，

OM

＝(2，y0)．
直线CM：y-0=(y0)/(4)（x+2），即 y＝(y0)/(4)x+(1)/(2)y0．（6分）
代入椭圆x²+2y²=4，得(1+(y20)/(8))x2+(1)/(2)

y

2 0

x+(1)/(2)

y

2 0

−4＝0，故次方程的两个根分别为-2和x₁，（8分）
由韦达定理可得x₁-2=(−4y02)/(y02+8)，∴x1＝ (−2y02+16)/(y20+8)，∴y1＝(8y0)/(y20+8)．
∴

作业帮用户 2016-12-16

问题解析

（1）利用椭圆的几何性质求出a、b的值，从而写出标准方程．
（2）设M（2，y₀），写出直线CM的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算这2个向量坐标的数量积，得出定值．

名师点评

本题考点：

椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；椭圆的应用．

考点点评：

本题考查椭圆的标准方程的求法、2个向量的数量积公式的应用，及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．

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