对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n=1，2，3，…．满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．

Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f ₁ （x）=f（x），f ₂ （x）=f（f ₁ （x）），…，f _n （x）=f（f _n-1 （x）），n=1，2，3，…．满足f _n （x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设 f(x)=

2x	0≤x≤(1)/(2)
2-2x	(1)/(2) ＜x≤1

则f的n阶周期点的个数是______．

Answer 1

当x∈[0， (1)/(2) ]时，f ₁ （x）=2x=x，解得x=0
当x∈（ (1)/(2) ，1]时，f ₁ （x）=2-2x=x，解得x= (2)/(3)
∴f的1阶周期点的个数是2
当x∈[0， (1)/(4) ]时，f ₁ （x）=2x，f ₂ （x）=4x=x解得x=0
当x∈（ (1)/(4) ， (1)/(2) ]时，f ₁ （x）=2x，f ₂ （x）=2-4x=x解得x= (2)/(5)
当x∈（ (1)/(2) ， (3)/(4) ]时，f ₁ （x）=2-2x，f ₂ （x）=-2+4x=x解得x= (2)/(3)
当x∈（ (3)/(4) ，1]时，f ₁ （x）=2-2x，f ₂ （x）=4-4x=x解得x= (4)/(5)
∴f的2阶周期点的个数是2 ²
依此类推
∴f的n阶周期点的个数是2 ⁿ
故答案为：2 ⁿ