已知函数f（x）的定义域为D．若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k＞0），则称函数f（x）是k类函数．设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k类函数，则n-m的取值范围是（0

Question

已知函数f（x）的定义域为D．若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k＞0），则称函数f（x）是k类函数．设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k类函数，则n-m的取值范围是

（0，(1)/(3)]∪[(4)/(3)，+∞）

（0，(1)/(3)]∪[(4)/(3)，+∞）

．

Answer 1

作出函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）图象如下：

令f′（x）=3x²+4x+1=0，
解得，x=-1或x=-(1)/(3)，
令f（x）=f（-(1)/(3)），即x³+2x²+x=-(4)/(27)，
解得，x=-(4)/(3)，
由存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k＞0）知，
n=0，m≥-(1)/(3)或m≤-(4)/(3)，
则n-m的取值范围为（0，(1)/(3)]∪[(4)/(3)，+∞）．
故答案为：（0，(1)/(3)]∪[(4)/(3)，+∞）．