数列通项公式的求法及其步骤

Question

数列通项公式的求法及其步骤

Answer 1

构造法求数列的
在数列求通项的有关问题中,经常遇到即非等差数列,又非
的求通项问题,特别是给出的数列相邻两项是
的题型,在老教材中,可以通过不完全
进行归纳、猜想,然后借助于
予以证明,但新教材中,由于删除了
,因而我们遇到这类问题,就要避免用
.这里我向大家介绍一种解题方法——构造
或等差数列求
.
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种
的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的
要求出该数列的
,此类题通常较难,但使用构造法往往给人
的感觉.供参考.
1、构造等差数列或
由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些
问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的
.
例1 设各项均为正数的数列 的前n项和为Sn,对于任意正整数n,都有等式：成立,求 的通项an.
,∵ ,∴ .
即 是以2为公差的等差数列,且 .
∴
例2 数列 中前n项的和 ,求数列的通项公式 .
当n≥2时,
令 ,则 ,且
是以 为公比的等比数列,
∴ .
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设 是首项为1的正
列,且 ,（n∈N*）,求数列的通项公式an.
由题设得 .
∵ ,,∴ .
∴
.
例4 数列 中,,且 ,（n∈N*）,求通项公式an.
∴ （n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求
的一种简单方法.
例5 数列 中,,前n项的和 ,求 .
,
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.
例6 设正
列 满足 ,（n≥2）.求数列 的通项公式.
两边取对数得：,,设 ,则
是以2为公比的等比数列,.
,,,
∴
例7 已知数列 中,,n≥2时 ,求通项公式.
∵ ,两边取倒数得 .
可化为等差数列关系式.
∴