某电厂冷却塔外形是如图1-7-8所示的双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面其中AA′是双曲线的顶点CC′是冷却塔上口直径的两个端点BB′是冷却塔下底直径的两

Question

某电厂冷却塔外形是如图1-7-8所示的双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面 其中A A′是双曲线的顶点 C C′是冷却塔上口直径的两个端点 B B′是冷却塔下底直径的两个端点 已知AA′=14 m CC′=18 m BB′=22 m 塔高20 m.

图1-7-8

(1)建立坐标系并写出该曲线的方程;

(2)求冷却塔的容积(精确到10 m ³ 塔壁厚度不计 π取3.14).

Answer 1

冷却塔的容积为4.24×10 ³ (m ³ ).

解析:

设出双曲线的方程 利用待定系数法求方程;利用定积分求旋转体的体积.

解:(1)建立如图所示的直角坐标系xOy 使AA′在x轴上 AA′的中点为坐标原点O CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为 =1(a>0 b>0) 则a= AA′=7.

设B(11 y ₁ ) C(9 y ₂ ) 因为点B C在双曲线上 所以有

=1 ①

=1 ②

由题意 知y ₂ -y ₁ =20.③

由①②③得y ₁ =-12 y ₂ =8 b= .

故所求的双曲线方程为 =1.

(2)由双曲线方程得x ² = y ² +49.

设冷却塔的容积为V(m ³ )

则V=π

=π( y ³ +49y) =4.25×10 ³ (m ³ ).